计算∫y^3√1+4y^2dy，y 从0到1

作代换，令 u =√1+4y^2
则 y^2 = (u^2 -1)/4， d(y^2) =1/4 * d(u^2) = 1/2 * udu
y 从0到1，则 u 从 1 到 √5，下面只计算不定积分，最后代入积分限即可

∫y^3√1+4y^2 dy

=1/2 * ∫y^2 √1+4y^2 d（y^2) 代入上述变换

=1/2 * 1/4 ∫(u^2 -1) * u * 1/2 * udu

=1/16 ∫(u^4 - u^2) du

=1/16 [1/5 * u^5 - 1/3 * u^3] .......(u 从 1 到 √5)

=(5√5 )/24 -1/120

设2y=tanx,则dy=dx/【2(cosx)^2】,y^3=(tanx)^3/8,√1+4y^2 = secx,
y 从0到1,x从0到arctan2
原式 = ∫y^3√1+4y^2dy
= ∫【(tanx)^3/8】·secx·dx/【2(cosx)^2】,
= （-3/16）∫{【1-（cosx）^2】/【（cosx）^6】}d(cosx)
= （-3/16）∫【(cosx)^(-6) - (cosx)^(-4)】d(cosx)
= （-13√5) / 5000 - (-3/16)【(1/3)-(1/5)】
= （125 - 13√5) / 5000